Hyperboloid

Ein Hyperboloid ist im einfachsten Fall eine Fläche, die durch Rotation einer Hyperbel um eine ihrer Achsen entsteht (Rotationsfläche).

• Bei Rotation einer Hyperbel um ihre Nebenachse entsteht ein einschaliges Hyperboloid. Es besteht aus einem zusammenhängenden Flächenstück.
• Bei Rotation einer Hyperbel um ihre Hauptachse entsteht ein zweischaliges Hyperboloid. Es besteht aus zwei getrennten Flächenstücken.

Beide Flächen lassen sich durch eine quadratische Gleichung – analog zu den Gleichungen von Ellipse und Hyperbel – beschreiben. Sie sind deshalb Spezialfälle von Quadriken (z. B. Kugel, Kegel, Paraboloid) und werden typischerweise von Ebenen in Kegelschnitten geschnitten.

Ein wesentlicher Unterschied zwischen einem einschaligen und einem zweischaligen Hyperboloid ist, dass das einschalige Hyperboloid Geraden enthält, es also eine Regelfläche ist, das zweischalige nicht.

Diese Eigenschaft macht das einschalige Hyperboloid für Architekten und Bauingenieure interessant, da sich einschalige Hyperboloide leicht aus Geraden modellieren lassen. Einige Kühltürme haben die Form eines einschaligen Hyperboloids. Auch im Maschinenbau finden einschalige Hyperboloide Verwendung bei Hyperboloidgetrieben,^[1][2] Einschalige Hyperboloide spielen auch in der synthetischen Geometrie eine Rolle: Eine Minkowski-Ebene ist die Geometrie der ebenen Schnitte eines einschaligen Hyperboloids. Während das einschalige Hyperboloid von Tangentialebenen in zwei sich schneidenden Geraden geschnitten wird (siehe unten), hat ein zweischaliges Hyperboloid mit Tangentialebenen immer nur einen Punkt gemeinsam und ist deshalb geometrisch mehr mit einer Kugel verwandt.

1. ↑ W. Steinhilper (Herausg.): Konstruktionselemente des Maschinenbaus 2. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-29629-8, S. 374 (google.de). 
2. ↑ Modellsammlung d. Uni Göttingen: Hyperboloidgetriebe. Archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 18. September 2017; abgerufen am 3. April 2023.